ONTOLOGI FILSAFAT

Salah satu adab berfilsafat adalah meluruhkan kesombongan, salah satu cirri kesombongan yaitu tidak mau belajar dan mempelajari. Status guru menandai ada guru, keberadaan guru berimplikasi bahwa guru harus mengada, untuk dapat mengada guru harus memproses melalui membaca, belajar, berinteraksi dan bersentesa dengan seluruh yang berhubungan dengan guru itu sendiri. Proses akan paripurna jika seorang guru sudah bisa jadi pengada.

Komitemen jadi guru matematika, tidak harus menjadikan guru menutup diri dengan ilmu yang lainnya. Guru matematika tidak harus hanya mau dan mampu berinteraksi di dunianya sendiri, ilmu matematika akan berkembang jika mampu bersintesa dengan ilmu lainnya.

Adab yang lainnya adalah membangun hidup, untuk membangun hidup diperlukan kesadaran bahwa hidup harus berjalan di jalan yang lurus ( Shirotol Mustakim ). Tidak mudah untuk memilih jalan yang lurus, karena jalan yang seakan lurus ternyata berkelok – kelok dan berputar – putar.  Untuk menemukan suatu kebenaran tidak mudah, tidak lurus – lurus saja tetapi kadang dan sering berkelok – kelok dan berputar – putar tapi untuk tidak itu tidak harus dijadikan alasan untuk berputus asa, terus berjalan untuk menemukan suatu kebenaran. Perjalanan yang berkelok – kelok itu kalau ditarik akan menjadi lurus seperti spiral. Masing – masing manusia mempunyai talenta, olah pikir dan olah hati yang berbeda yang berimbas pada banyak kelokan dan putaran yang dilalui untuk sampai jadi lurus. Semakin tinggi kemampuan olah pikir dan olah hati maka semakin pendek kelokan yang dilalui. Inilah hidup selalu dinamis tidak linear.

Disamping adab berfilsafat diperlukan juga identifikasi penyakit – penyakit yang perlu dihindari agar mudah dalam berolah pikir dan olah hati sehingga mudah untuk mencapai Shirotol Mustakim, penyakit tersebut adalah :

1. Parsial

2. Tidak kompreshensif

3. Mis komunikasi

4. Terputus

5. Tidak dijelaskan

6. Tidak bisa dipercaya

7. Salah paham dalam hati, pikiran dan badan

8. Memaksakan kehendak

Penyakit – penyakit tersebut menyebabkan hidup linear, monoton dan homogen padahal nyatanya hidup ini dinamis berwarna. Badan manusia berupa – rupa tentukan berimpilkasi pada pikiran dan hati juga, sehingga sangat salah jika memaksakan hidup ini homogeny harus sama. Interaksi antar sesama akan menjadikan hidup ini akan dinamis dan tidak monoton, jika interkasi ini monoton maka akan timbul kejenuhan – kejenuhan dalam berinteraksi, ini adalah awal kemandekan dalam bersintesa.

Kemampuan bersintesa juga dapat diperoleh jika terjadi kontradiksi, selama terjadi kontradiksi – kontradiksi maka akan senantiasa lahir sintesa – sintesa yang sangat bermanfaat bagi berkembangnya ilmu yang berujung pada kebermanfaatannya dalam hidup. Sintesa – sintesa itu tidak harus dinilai benar salahnya, yang terpenting adalah penjelasan dari sintesa tersebut. Sintesa tidak aka nada manfaat jika tidak ada penjelasan dan juga penjelasan melebihi dosis ini juga merupakan suatu penyakit dalam berfilsafat.

Agar dapat terhindar dari penyakit – penyakit tersebut maka perlukan :

1. Sopan santun terhadap ruang dan waktu, kalau konteksnya matematika maka perlu sopan santun terhadap matematika, sopan santun pada ilmu untuk konteks ilmu. Agar sopan santun terhadap ilmu perlu tahu banyak tentang ruang dan waktu.

2. Senantiasa refleksi diri, setiap kejadian pada manusia kecil atau besar harus senantiasa dijadikan bahan refleksi diri.

3. Menghilangkan ego, manusia susah melihat diri sendiri karena ego, sifat pada manusia unlimited. Ego yang menjadikan manusia mereduksi ( menyederhanakan ) sehingga manusia senantiasa berfikir parsial tidak holistic

Pertanyaan

1. Apakah ada pengaruh antara pemisahan ilmu – ilmu di sekolah dengan pola pikir parsial dewasa ini ?

2. Apakah ada pengaruh antara persepsi kebermanfaatan bagi kehidupan manusia secara signifikan terhadap budaya refleksi hal – hal yang sepele ?

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR TEORI BILANGAN

Definisi 3… ( Sukirman,2006 )

Jika a dan b bilangan bulat yang sekurangnya satu diantaranya tidak sama dengan nol, maka faktor persekutuan terbesar ( FPB ) dari a dan b diberi simbol (a,b) adalah suatu bilangan bulat positif, misalnya d yang memenuhi :

(i)  d|a dan d|b, serta

(ii) Jika e|a dan e|b, maka e ≤ d

Contoh :

a. ( -12,30) = 6

b. (8,15) = 1

c. (0,5) = 5

Teorema 3….( Rosen,2011 )

Jika a dan b bilangan bulat dengan (a,b) = d, maka (a/d,b/d) = 1 ( a/d dan b/d relatif prima )

Bukti

Diketahui :

-          a dan b Є Bilanga bulat

-          (a,b) = d

Dibuktikan

-          ( a/d, b/d ) = 1

Pembuktian

Misal c Є Bilanga bulat positif sehingga c|( a/d) dan c|(b/d) maka dibuktikan c = 1

c|(a/d) maka ada bilangan bulat k sehingga  (a/d ) = kc

c|(b/d) maka ada bilngan bulat l sehingga (b/d) = lc

( a/d ) = kc berarti a = dck

(b/d) = lc berarti b = dcl

a = dck dan b = dcl maka dc adalah faktor persekutuan a dan b

Karena d adalah FPB dari a dan b maka dc ≤ d berarti c = 1

Jadi terbukti ( a/d,b/d ) = 1

Teorema 3….( Rosen, 2011 )

Untuk a,b dan c bilangan bulat, maka ( a + cb,b ) = ( a,b )

Bukti

Diketahui a,b dan c bilangan bulat.

Dibuktikan

Faktor Persekutuan a+cb dan b = Faktor Persekutuan a dan b

Pembuktian

(i) Jika e faktor persekutuan  a + cb dan b maka e faktor persekutuan a dan b

e faktor persekutuan a + cb dan b, dengan teorema keterbagian maka e | ( a + cb ) – cb= e|a sehingga e faktor persekutuan a dan b

(ii) Jika f faktor persekutuan a dan b maka f faktor persekutuan a + cb dan b

f |a dan f | b dengan teorema linearitas keterbagian maka f | ( a + cb ) sehingga f faktor persekutuan a + cb dan b

Dari (i) dan (ii) maka terbukti ( a + cb,b ) = ( a,b )

Definisi 3….( Rosen,2011 )

Jika a dan b bilangan bulat, maka terdapat kombinasi linear a dan b dalam bentuk ma + nb, dengan m dan n bilangan bulat

Contoh :

Kombinasi linear dari 9m + 15n diantaranya -6 = 1.9 + (-1).15 ; -3 = (-2).9 + 1.15 dsb.

Bezout’s Theorem 3….( Rosen,2011 )

Jika a dan b bilangan bulat, maka ada bilangan bulat m dan n sehingga ma + nb = (a,b)

Bukti

Diketahui a dan b bilangan bulat

Dibuktikan

ma + nb = (a,b)

Pembuktian

Ambil  S = { ma + nb > 0, dengan m dan n bilangan bulat } maka ada bilangan positif terkecil dari S, misal d maka d = ma + nb, dengan m dan n bilangan bulat, akan ditunjukkan d|a dan d|b

(i) d|a berdasarkan Algoritma pembagian a = dq + r , 0 ≤ r < d

sehingga r = a – dq = a – q(ma + mb)

                               = a – qma – qmb

                               = a( 1 – qm ) – qmb

Ini berarti r adalah kombinasi linear a dan b, karena  0 ≤ r < d dan d bilangan positif terkecil maka r = 0  sehingga a = dq atau d|a

(ii) d|b berdasarkan Algoritma pembagian b = dq + r , 0 ≤ r < d

sehingga r = b – dq = b – q(ma + mb)

                               = b – qma – qmb

                               = b( 1 – qm ) – qma

Ini berarti r adalah kombinasi linear a dan b, karena  0 ≤ r < d dan d bilangan positif terkecil maka r = 0  sehingga b = dq atau d|b

Dari (i) dan (ii) telah ditunjukkan bahwa d bilangan bulat terkecil dari kombinasi linear a dan b adalah faktor persekutuan a dan b.

Selanjutnya dibuktikan bahwa (a,b) = d

Misal diambil c adalah sembarang faktor persekutuan a dan b, maka c|a dan c|b dengan sifat linearitas keterbagian c|( ma + nb ) atau c|d sehingga c|d

Maka terbukti (a,b) = d atau ma + nb = (a,b)

Teorema 3.   ( Rosen,2011)

Bilangan bulat a dan b relatif prima jika dan hanya jika ada bilangan bulat m dan n yang memenuhi ma + nb = 1

Bukti

(i) Diketahui (a,b) = 1

Dibuktikan

ma + nb = 1

Pembuktian

(a,b) = 1 berdasarkan teorema Benzout maka ada m dan n bilangan bulat ma + nb = 1

(ii) Diketahui ma + nb = 1

Dibuktikan

(a,b) =1

Pembuktian

Misal (a,b) = d harus dibuktikan (a,b) = 1

(a,b) = d maka d|a dan d|b, menurut sifat linearitas keterbagian maka d|(ma + nb) = d|1 sehingga d = 1. Terbukti (a,b) = 1

Dari (i) dan (ii) teorema terbukti.

Contoh :

1. Untuk a bilangan positif, tentukan FPB dari a dan a²  ( Rosen,2011: 99 )

Penyelesaian :

Faktor a  : 1,a

Faktor a² : 1,a,a²

Maka ( a, a² )  = a

2. Buktikan bahwa FPB dari bilangan genap dan ganjil adalah ganjil!( Rosen,2011 : 99 )

Penyelesaian :

Diketahui :

 a bilangan genap , maka a = 2k untuk bilangan bulat k

 b bilangan ganjil, maka b = 2l + 1 untuk bilangan bulat l

Buktikan :

( a, b ) = ganjil

Pembuktian :

Misal (a,b) = d menurut teorema Benzout d = ma + nb

d = m2k + n(2l + 1)

   = 2mk + 2nl + n

   = 2(mk + nl ) + n

Menurut algoritma pembagian 0 ≤ n < 2, sehingga n = 1 maka

d = 2 (mk + nl ) + 1  merupakan bilangan ganjil.

Terbukti ( a, b ) = bilangan ganjil.

3. Buktikan Jika a dan b bilangan bulat dengan ( a,b ) = 1 maka ( a + b, a – b ) = 1 atau 2        ( Rosen,2011 : 99 )

Penyelesaian

Diketahui ;

( a,b ) = 1

Dibuktikan :

 ( a + b, a – b ) = 1 atau 2

Pembuktian :

Misal ( a + b, a – b ) = d dibuktikan d = 1 atau 2

( a + b, a – b ) = d maka d | ( a + b ) dan d | ( a – b )

Menurut sifat teorema keterbagian maka d | ( a + b + a – b ) sehingga d | 2a

Menurut sifat teorema keterbagian maka d | ( a + b – a + b  ) sehingga d | 2b

d | 2a dan d | 2b menurut sifat teorema keterbagian d | (2a + 2 b)

sehingga d | 2 ( a + b ) yang berarti

d | 2 sehingga d = 1 atau d = 2

Jadi terbukti ( a + b , a – b ) = 1 atau 2

Diskuisikan :

1. Untuk a dan b bilangan bulat positif, Tentukan FPB dari a dan a + 2 !

2.  Buktikan bahwa jika a dan b bilangan ganjil dan keduanya tidak nol, maka ( a,b ) =          2( )

3.  Buktikan bahwa jika a,b dan c bilangan bulat sehingga (a,b) = 1 dan c | ( a + b ), maka        ( c,a ) = ( c,b ) = 1

Jawaban diskusi

1. Faktor a = a ,1

    Faktor a + 2 = 1, ( a+b )

    Jadi ( a, ( a + 1 ) ) = 1

2. Diketahui

    a dan b bilangan ganjil dan keduanya tidak nol

    Dibuktikan

( a, b ) = 2( )

Pembuktian

a = 2k + 1 → k =

b = 2l + 1 → l =

Misal ( a,b ) = d maka d | a dan d | b

Sehingga d | ( 2k + 1 ) dan d | ( 2l + 1 ) berdasarkan sifat linearitas keterbagian maka

d | ( 2k + 1 + 2l + 1 )

d | ( 2k + 2l + 2 )

d | 2(  +    + 1 )

d | 2(  –  +    -   + 1 )

d | 2 (  +  )

d = ( a,b ) = 2 (  +  )

3. Diketahui

( a, b ) = 1 dan c | ( a + b )

Dibuktikan

( c,a ) = ( c,b ) = 1

Pembuktian

c | ( a + b ) sehingga c | a dan c | b dengan  c ≤ ( a,b )

sehingga c ≤  1  karena c bilangan bulat maka c = 1

( c,a ) = ( 1,a ) = 1

( c,b ) = ( 1,b ) = 1

Terbukti ( c,a ) = ( c,b ) = 1

ELEGI MARSIGIT CORETKU 3

ELEGI GURU PAK
Ada guru yang ditandai dengan SK - SK baik SK Pemerintah dan Yayasan. Keberadaan guru tersebut jelas dan nyata dan bisa dicacah, Kuantitas guru di Negeri gemah ripah loh jinawi luar biasa. Tetapi kualitas? tunggu dulu. Banyak guru yang hanya puas hanya dengan keberadaannya semata. Kepuasan dengan materi yang diperoleh telah menina bobokan para guru, sehingga tidak ada sebersitpun dibenaknya untuk mengada yang berujung sedikit lahirnya para pengada.Pun seandainya terlahir guru yang mengada dan menjadi pengada, ternyata ketika ditelusiri ternya hanya mengada - ada dan pengada - ada. Kalau gurunya saja berani menjadi mengada - ada dan pengada - ada, lantas jadi apa murid - muridnya..??
Bukankah apa yang dibuat dan apa diperbuat guru menjadi contoh yang terbantahkan murid..?? Bukan guru kencing berdiri murid kencing berlari..?? Ini menjadi refleksi bagi segenap guru, masa depan negeri ini langsung atau tidak amat tergantung pada guru, memang bukan guru insich tetapi peran guru tidak dapat disepelekan. Guru yang baik dan profesional tidak hanya guru yang ada saja, tetapi guru mau mengada dan mampu jadi pengada

ELEGI PENGEMBARAAN
Filsafat berkembang seiring perkembangan manusia itu tersendiri, tetapi secara ilmu filsafat berkembang mulai jaman India, Cina dan Yunani. Perkembangan filsafat yang secara tidak langsung menjadi acuan perkembangan ilmu secara signifikan melalui filsafat Yunani, yang dimulai dari keingin tahuan akan arche ( Unsur Induk ). Jaman keemasan filsafat dimulai dari Socrates melalui "Dialektika"( melalui pertanyaan2 ). Kemudian berkembang secara berturut Plato dengan idealisme, Aristoteles dengan Realisme, George Barkely dengan fatamorgana, Rene Deskartes dengan skeptismenya ( Cogito Ergosum ), Imanuel Kant yang mengabungkan antara Ide dan pengalaman. Dalam perkembangan selanjutnya filsafat tidak dikembangkan dengan orientasi kosmos tetapi sudah berorientasi pada ilmu pengetahuan melalui Hege, Brouwer, Russel, Wittgistin, Hilbert, Godel, Hussel dan masa kontemporer senantiasa selalu berorientasi pada ilmu pengetahuan.

ELEEGI ANOMALI
Anomali adalah nyata
Lahir karena serakah
Manusia merasa luar biasa
Semua bisa dilaksana
Semakin banyak yang diingini
Semakin dekat dg anomali
Semakin ingin lebihi hati
semakin mudah beranomali
Keinginan hati
Amatlah banyak isi
Akal manusia dibatasi
Hingga tak semua terpenuhi
Pikiran manusia juga bicara
Tapi tidak semua bisa di eja
Tidak semua dapat tertera
dan tidak semua terlaksana
Antara hati dan akal
Antara akal dan kata
Antara kata dan tulisan
Antara tulisan dan tindakan
Semuanya tidak bisa satu bahasa

Ketaksatu bahasa buat berbeda
Hati berkata ya pikiran berkata tidak
Pikiran berkata mudah kata yang keluar susah
Kata yang keluar setuju tulisan tertera tak setuju
Tulisan tertera hadir tindakan berbuat tak hadir
Itulah Anomali - Anomali
Semua terjadi karena besar kuasa hati
Tapi semuanya pikiran,berkata
Menulis dan bertindak
Ingin selalu mengingkari

ELEGI BENDUNGAN KOMTE
Masa August Komte abad 19, adalah masa kegelapan filsafat dengan konsep logiko hepotito komte telah membrangus berkembangnya filsafat, dan tidak mempercayai lagi yang namanya filsafat, logika menjadi panglima peradaban. Akan tetapi konsep komte ini telah menimbulkan suatu paradoks karena bagaimanapun manusia tidak bisa melepaskan dirinya dengan namanya hati. Semakin mengembarakan pikiran maka suatu saat pikiran sampai suatu titik jenuh dimana fenomena - fenoma yang dijumpai tidak bisa diselesaikan dengan logika belaka. Ketika logika sudah mampu lagi menganalisa disitulah peranan hati untuk mengurai.

ELEGI NILAI DIRI
Manusia adalah makhluk sosial, tidak bisa hidup tanpa orang lain. Kesosialan ini menjadikan manusia harus senantiasa berinteraksi dengan manusia lainnya. Adab ketika berinteraksi adalah meluruhkan kesombongan atau ego, selama kita tidak bisa meninggalkan ego maka gagallah menjadi manusia. Kegagalan itu dikarenakan eksistensi manusia yang menilai adalah manusia lainnya, eksistensi tidak ada artinya kalau hanya diakui sendiri tanpa orang lain.
Eksistensi manusia akan semakin berkembang dari pengalaman - pengalaman yang merupakan hasil interaksi dengan manusia lainya. Setiap pengalaman ini akan sangat berharga apabila setiap pengalaman senantiasa direfleksikan. Hasil refleksi akan sangat berguna bagi eksistensi manusia itu sendiri apabila dapat dishare tidak hanya pada lingkup lingkungannya sendiri tapi diekspansi ke lingkugan - lingkungan yang lainnya.

ELEGI HATI
Manusia adalah semulia - mulianya makhluk ciptaan Allah, letak kemuliaannya ada pada hati dan akal. Tidak ada secuil apapun ciptaan Allah tidak bermanfaat, amatlah naif pandangan yang mengesampingkan hati sebagai panglima dalam hidupnya. Hatilah yang menentukan baik buruk seorang manusia, ketika hati baik maka baiklah manusia tersebut dan sebaliknya. Karena Allah yang mencipta maka hanyalah Allahlah yang tahu manfaat penciptaan hati dan akal. Dalam hidup ini banyak hal - hal absurd yang kalau hanya mengandalkan akaltidak mampu dipahami, ketika itu terjadi maka peran hatilah yang akan beri solusi

ELEGI SUMBER BACAAN
Inilah era digital, amatlah rugi manusia yang tidak mau dan mampu memanfaatkan kecagihan dunia digital untuk belajar dan membelajarkan. Jadul rasanya jika informasi sudah dapat melewati batas dunia, tetapi manusia masih menggunakan cara yang konvensional dalam belajar membelajarkan. Dengan kemajuan teknologi ini dapat dimanfaatkan untuk belajar membelajarkan, sehingga belajar bisa any where and any time

ELEGI INTUISI
Intuisi adalah kemampuan memahami sesuatu tanpa melalui penalaran rasional dan intelektualitas. Kemampuan ini sangat diperlukan karena ketika manusia mempunyai intuisi yang tajam memungkinkan manusia mudah memecahkan masalah. Banyak orang - orang besar yang berhasil dengan mengedepankan intuisi dalam memutuskan suatu pilihan. Dalam konteks matematika muara tujuan pembelajaran matematika adalah kemampuan memecahkan masalah, dalam menyelesaikan masalah matematika tersebut diperlukan suatu intuisi untuk mneyelesaikan, terutama untuk permasalahan yang tidak rutin. Intuisi dapat berupa intuisi untuk menentukan metode yang tepat untuk menyelesaikannya.

ELEGI INTUISI 2
Kontradiksi itu memang ada, UN adalah contoh nyata UU Sisdiknas,UU Guru Dosen dan Permen Standar Proses secara tersurat dan tersirat mengutamakan proses daripada hasil, tetapi dengan UN maka sebaliknya. Dengan proses yang baik maka siswa dapat mengkontruksi pengetahuannya, dengan kontruksi itulah intuisi sebagai sintesa pengalaman siswa tersebut dapat berkembang. Dengan berkembangnya intuisi ini menjadi siswa mempunyai kemampuan untuk memecahkan masalah dan ini bekal yang sangat berharga untuk menghadapi kehidupannya.

ELEGI INTUISI 3
Tolok ukur berkembangnya suatu karakter adalah membudaya, matematika sekolah berkembang jika matematika itu sudah menjadi budaya di sekolah tersebut. Dengan membudayanya matematika secara hakiki itu berarti matematika sudah menjadi kultur dan darah daging dari kehidupan sekolah tersebut. Tatkala itu sudah terwujud tidak ada lagi siswa tersiksa ketika belajar matematika, tidak ada guru yang mengeluh ketika mengajar matematika. Karena matematika itu dirinya, siapapun tidak ada yang tidak menyukai atau menolak dirinya sendiri.